Question

若定义在[0，1]上的函数y=f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）为“梦函数”
（1）试判断f（x）=2^x-1是否为“梦函数”；
（2）若函数y=f（x）为“梦函数”，求函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据新定义紧扣3个条件判断即可，（2）关键是得出：对于任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，f（x₁）≤f（x₂），函数y=f（x）为单调递增函数，就能够确定最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x-1，在[0，1]，
∴①f（x）≥0；②f（1）=1；
又∵若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，2 x1≥1，2 x2≥1，
f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2 x1+x2-2 x1-2 x2+1=（2 x1-1）（2 x2-1）≥0
∴f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
∴f（x）=2^x-1是“梦函数”；
（2）对于任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）≤f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁））≤-f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂），
∴函数y=f（x）为单调递增函数，
∴函数y=f（x）的最大值为f（1）=1．

点评：本题考查了新定义的函数的概念，运用定义条件，结合单调性确定出最值，需要的变形难度较大．