Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．
（1）证明：BE∥平面PAD；
（2）证明：BE⊥平面PDC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE∥平面PAD；
（2）根据线面垂直的判定定理证明：BE⊥平面PDC；

解答： 解：（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．
∵E为PC的中点，
∴EQ∥CD且EQ=

1

2

CD．
又∵AB∥CD且AB=

1

2

CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．
又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ．
∵PA=AD，Q为PD的中点，
∴AQ⊥PD，
∵CD∩PD=D，∴AQ⊥平面PDC．
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PDC．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理能力．