Question

已知函数f（x）=|2x+b|．
（Ⅰ）若不等式f（x）＜3的解集是（-1，2），求实数b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＜3 求得

-3-b

2

＜x＜

3-b

2

，再根据不等式的解集是（-1，2），可得

-3-b 2 =-1 3-b 2 =2

，由此求得实数b的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，根据|2x+5|+|2x+1|≥m对一切实数x恒成立，因为|2x+5|+|2x+1|≥4，可得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜3，即|2x+b|＜3，即-3＜2x+b＜3，求得

-3-b

2

＜x＜

3-b

2

．
再根据不等式的解集是（-1，2），可得

-3-b 2 =-1 3-b 2 =2

，求得实数b=-1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，
得|2x+5|+|2x+1|≥m对一切实数x恒成立．
因为|2x+5|+|2x+1|≥|2x+5-2x-1|=4，所以m≤4．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，一般遇到不等式恒成立问题通常转化为最值问题进行解答，体现了转化的数学思想，属于基础题．