题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为是矩形，PA⊥底面ABCD，E为棱PD的中点，AP=2，AD=3，且三棱锥E-ACD的体积为1．（Ⅰ）求证：PB∥平面EC；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用
分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明PB∥平面EC；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用坐标法即可求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用坐标法即可求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．
解答：
解：
（ I）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为是矩形，PA⊥底面ABCD且三棱锥E-ACD的体积为1，
∴VE-ACD=
×
AD•CD•
PA=
，得CD=3---------------------（2分）
如图所示，以A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，建立空间角坐标系
由已知A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，2
，0），D（0，2
，0），P（0，0，2），E（0，
，1）
取AC中点O，则O（
，
，0），则
=（3，0，-2），
=(
，0，-1)，
∴
=2
，
∥
，即PB∥EO---------------------（4分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC---------------------（6分）
（ II）
=(0，
，1)，
=(0，0，2)，
=(3，2
，0)，
设平面PAC的一个法向量
=（x，y，z），
则
⊥
，且
⊥
，即
•
=0，且
•
=0
=0，
∴
，令x=1，解得
=（1，-
，0）---------------------（8分）
则cos＜
，
＞=
=-
---------------------（10分）
直线AE与平面PAC所成角的正弦值为
----------------------（12分）
（ I）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为是矩形，PA⊥底面ABCD且三棱锥E-ACD的体积为1，∴VE-ACD=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
如图所示，以A为坐标原点，AB方向为x轴正方向，建立空间角坐标系
由已知A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
取AC中点O，则O（
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| PB |
| EO |
| 3 |
| 2 |
∴
| PB |
| EO |
| PB |
| EO |
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC---------------------（6分）
（ II）
| AE |
| 3 |
| AP |
| AC |
| 3 |
设平面PAC的一个法向量
| n |
则
| AP |
| n |
| AC |
| n |
| AP |
| n |
| AC |
| n |
| n |
∴
|
| n |
| ||
| 2 |
则cos＜
| AE |
| n |
-
| ||||||
|
3
| ||
| 14 |
直线AE与平面PAC所成角的正弦值为
3
| ||
| 14 |
点评：本题主要考查空间直线和平面平面的判断，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法．
练习册系列答案
尖子生新课堂课时作业系列答案
英才计划同步课时高效训练系列答案
相关题目
向量
=（1，2），
=（-2，k），若
与
共线，则|3
+
|=（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、2
| ||
C、5
| ||
| D、5 |
已知直线y=-x+1与椭圆
+
=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为
，焦距为2，则线段AB的长是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、2 |
数列{
如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．已知抛物线y2=16x的焦点为F，直线y=k（x-4）与此抛物线相交于P，Q两点，则
+
=（ ）
| 1 |
| |FP| |
| 1 |
| |FQ| |
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|