Question

如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证：
（1）FD∥平面ABC；
（2）AF⊥平面EDB；
（3）求直线AD与平面EDB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB的中点M，连FM，MC，只要证明FD∥MC即可；
（2）只要证明FD⊥AF，AF⊥EB，利用线面垂直的判定定理解答；
（3）由（2）可得AD在平面EBD的射影为DF，得到直线AD与平面EDB所成角为∠ADF．

解答： （1）证明：取AB的中点M，连FM，MC，
∵F、M分别是BE、BA的中点，
∴FM∥EA，FM=

1

2

EA，
∵EA、CD都垂直于平面ABC，
∴CD∥EA，
∴CD∥FM，
又DC=a，∴FM=DC，
∴四边形FMCD是平行四边形，
∴FD∥MC，又FD?平面ABC，MC?平面ABC，
∴FD∥平面ABC；
（2）证明：∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，
又CM⊥AE，∴CM⊥面EAB，∴CM⊥AF，FD⊥AF，
因F是BE的中点，EA=AB，∴AF⊥EB，
FD∩BE=F，
∴AF⊥平面EDB．
（3）由（2）可得AD在平面EBD的射影为DF，所以直线AD与平面EDB所成角为∠ADF，AF=

2

a，AD=

5

a，DF=

3

a，cos∠ADF=

DF

AD

=

15

5

；
所以直线AD与平面EDB所成角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查了线面平行和线面垂直的判断以及线面角的求法，关键是将线面关系转化为线线关系解答．