Question

已知函数y=f（x）满足：f（x+1）=x²+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法直接求出结果
（2）首先不函数变形成顶点式，进一步利用对称轴和定义域的关系求的结果．

解答： 解：（1）由 f（x+1）=（x+1）²-x=（x+1）²-（x+1）-1
得f（x）=x²-x+1
（2）f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

∵x∈[0，2]，∴f（x）在[0，

1

2

]上是减函数，在[

1

2

，2]上是增函数
又f（2）=3＞f（0）=1
∴f(x)max=f(2)=3，f(x)min=f(

1

2

)=

3

4

．

点评：本题考查的知识要点：用换元法求函数的解析式，根据二次函数的对称轴与定义域的关系求最值．