Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．
第二小题比较5分钟和20分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=20要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．

解答： 解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43，
为开口向下的二次函数，对称轴为x=13，
故f（x）的最大值为f（10）=59，
当10＜x≤16时，f（x）=59
当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．
（2）f（5）=53.5，f（20）=47，
故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．

点评：此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．