Question

函数f（x）=

1-sinx

3-2cosx-sinx

（0≤x≤2π） 的最大值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：函数f（x）=

1-sinx

3-2cosx-sinx

（0≤x≤2π）为非负，则y²=

(1-sinx)2

3-2cosx-sinx

，求出导数，化简整理因式分解，
令它为0，求得sinx=1，或sinx+2cosx=1．代入函数f（x）化简得到0（舍去）和

2

cosx，再由平方关系，即可得到cosx，从而得到最大值．

解答： 解：函数f（x）=

1-sinx

3-2cosx-sinx

（0≤x≤2π）为非负，
则y²=

(1-sinx)2

3-2cosx-sinx

，
则y²的导数是

2(1-sinx)(-cosx)(3-2cosx-sinx)

(3-2cosx-sinx)2

-

(1-sinx)2•(2sinx-cosx)

(3-2cosx-sinx)2

，
=

(1-sinx)(cosx-2)(sinx+2cosx-1)

(3-2cosx-sinx)2

，
令导数为0，则sinx=1，或sinx+2cosx=1．
当sinx=1，f（x）=0，为最小值，
当sinx+2cosx=1时，设方程的根为m，
则导数在x=m处附近左正右负，为极大值点，也为最大值点．
即有f（m）=

2cosm

3-1

=

2

cosm，
由sin²m+cos²m=1，解得cosm=0（舍去）或

4

5

，
则f（m）=

4 2

5

．
故答案为：

4 2

5

．

点评：本题考查三角函数的最值的求法，考查运用导数的方法求最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．