Question

已知等比数列{a_n}的公比q=-

1

2

．
（1）若a₃=

1

4

，求数列{a_n}的前n项和；
（2）证明，对任意k∈N₊，a_k，a_k+2，a_k+1成等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（2）由a₃=

1

4

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得 a₁=1，代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．
（2）对任意k∈N₊，化简2a_k+2-（a_k +a_k+1）为 a₁ q^k-1（2q²-q-1），把q=-

1

2

代入可得2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列．

解答： （1）解：由a₃=

1

4

=a₁q²，以及q=-

1

2

可得 a₁=1．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

1×[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

2-2•(- 1 2 )n

3

．
（2）证明：对任意k∈N₊，2a_k+2-（a_k +a_k+1）=2a₁ q^k+1-a₁ q^k-1-a₁ q^k=a₁ q^k-1（2q²-q-1）．
把q=-

1

2

代入可得2q²-q-1=0，
故2a_k+2-（a_k +a_k+1）=0，
故 a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列．

点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．