Question

在数列{a_n}中，a₁=4，a₂=10，若{log₃（a_n-1）}为等差数列，且T_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

等于（　　）

• A、

  1

  12

  （3ⁿ-1）
• B、

  1

  4

  （1-

  1

  3n

  ）
• C、

  1

  4

  （1-

  1

  3n+1

  ）
• D、

  1

  12

  （3ⁿ⁺¹-1）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由{log₃（a_n-1）}为等差数列得到数列{a_n-1}为等比数列，求出等比数列的通项公式后进一步得到

1

an+1-an

=

1

2•3n

，然后利用等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：∵{log₃（a_n-1）}为等差数列，
∴2log₃（a_n-1）=log₃（a_n-1-1）+log₃（a_n+1-1）（n≥2），
即log3(an-1)2=log3(an-1-1)(an+1-1)（n≥2），
(an-1)2=(an-1-1)(an+1-1)（n≥2），
则数列{a_n-1}为等比数列．
首项为a₁-1=4-1=3，公比为

a2-1

a1-1

=

10-1

3

=3．
则an-1=3n．
∴

1

an+1-an

=

1

3n+1+1-3n-1

=

1

2•3n

．
则T_n=

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2×3

+

1

2×32

+…+

1

2•3n

=

1

2

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)
=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)．
故选：B．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．