Question

计算下列定积分，并从几何上解释这些值分别表示什么
（1）

∫

0 -1

x³dx；
（2）

∫

1 -1

x³dx；
（3）

∫

2 -1

x³dx．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出．
定积分

∫

b a

f(x)dx的几何意义是：若f（x）≥0，x∈[a，b]，其几何意义是曲线y=f（x），x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形的面积；
若f（x）≤0，x∈[a，b]，其几何意义是曲线y=f（x），x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形的面积的相反数；
若f（x）在区间[a，b]上有正有负时，其几何意义为曲线y=f（x）在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f（x）在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和．

解答： 解：（1）∵（

1

4

x⁴）′=x³
∴

∫

0 -1

x³dx=（

1

4

x⁴）

|

0 -1

=-

1

4

；
定积分

∫

0 -1

x³dx的几何意义指的是被积函数y=x³与直线x=-1，x=0，y=0所围成的图形的面积的相反数．
（2）∵（

1

4

x⁴）′=x³
∴

∫

1 -1

x³dx=（

1

4

x⁴）

|

1 -1

=0；
定积分

∫

0 -1

x³dx的几何意义是曲线y=f（x）在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f（x）在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和．
（3）∵（

1

4

x⁴）′=x³
∴

∫

2 -1

x³dx=（

1

4

x⁴）

|

2 -1

=

7

4

；
定积分

∫

2 -1

x³dx的几何意义是曲线y=f（x）在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f（x）在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和．

点评：本题主要考查定积分、定积分的几何意义，熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键．