Question

6．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+2$的值域为（-∞，0]∪[4，+∞），则a的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用勾勾函数的性质求解．$y=x+\frac{a}{x}$，当x＞0时，y的最小值为2$\sqrt{a}$，当x＜0时，y的最大值为-2$\sqrt{a}$，可得答案．

解答 解：由题意：函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+2$的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（-∞，0]∪[4，+∞），
令$y=x+\frac{a}{x}$，当x＞0，a＞0时，y的最小值2$\sqrt{a}$，
则当x＞0，a＞0时，$f（x）=x+\frac{a}{x}+2$的最小值为2$\sqrt{a}$+2，
由题意：$2\sqrt{a}+2=4$，解得a=1．满足题意．
当x＜0，a＞0时，y的最大值为-2$\sqrt{a}$+2，
由题意：-2$\sqrt{a}$+2=-1，解得a=1．满足题意．
因此得a=1．
故选：C．

点评 本题考查了勾勾函数的性质的运用．属于基础题．