中心均为原点O的双曲线C2与椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1有公共的焦点.其中F为右焦点.点A是C1.C2在第一象限的公共点.若|OA|=|OF|.则C2的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．中心均为原点O的双曲线C₂与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有公共的焦点，其中F为右焦点，点A是C₁，C₂在第一象限的公共点，若|OA|=|OF|，则C₂的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

分析设左焦点为F′，则|OA|=$\frac{1}{2}$|FF′|，AF⊥AF′．求出|AF′|-|AF|=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，即可求出C₂的离心率．

解答解：设左焦点为F′，则|OA|=$\frac{1}{2}$|FF′|，∴AF⊥AF′．
∵|AF|+|AF′|=4，|AF|²+|AF′|²=12，
∴2|AF′||AF|=4，
∴|AF′|-|AF|=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，
∴C₂的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF′|-|AF|=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

练习册系列答案

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