Question

11．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，则$\frac{x+y+3}{x+2}$的最大值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，化简目标函数，利用它的几何意义，即可求最大值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$对应的平面区域：$\frac{x+y+3}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义为区域内的点到P（-2，-1）的斜率加上1．，
由图象知，PB的斜率最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
故PB的斜率k=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$．
则$\frac{x+y+3}{x+2}$的最大值为：$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．