Question

1．已知变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$，则$\frac{y+1}{x+2}+1$的取值范围是（　　）

• A． $[{2，\frac{5}{2}}]$
• B． $[{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}]$
• C． $[{\frac{4}{5}，\frac{5}{2}}]$
• D． $[{\frac{5}{4}，2}]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，化简目标函数，利用它的几何意义，即可求最大值．

解答 解：作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$对应的平面区域：则$\frac{y+1}{x+2}+1$的几何意义为区域内的点到P（-2，-1）的斜率加上1．
由图象知，PB的斜率最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
故PB的斜率k=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$．
则$\frac{y+1}{x+2}+1$的最大值为：$\frac{5}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，C（2，0），则$\frac{y+1}{x+2}+1$的最小值为$\frac{0+1}{2+2}+1$=$\frac{5}{4}$．
则$\frac{y+1}{x+2}+1$的取值范围是：$[{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}]$．
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．