Question

15．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x²+bx+c．
（1）若f（x）有两个不动点为-3，2，求函数y=f（x）的零点；
（2）若c=$\frac{b^2}{4}$时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的b∈R，函数y=f（x）都有两个相异的不动点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）理解不动点的定义，说明-3，2是方程x²+（b-1）x+c=0的两个根；
（2）函数f（x）没有不动点，即即方程x²+bx+$\frac{{b}^{2}}{4}$=0无根；
（3）对于任意的b∈R，方程 x²+（b-1）x+c=0 有两个不同的根，从而△＞0⇒$\frac{（b-1）^{2}}{4}＞\\;c$ c 恒成立．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c有两个不动点-3，2，即x²+（b-1）x+c=0有两个根-3，2
代入方程得：b=2，c=-6；
∴f（x）=x²+2x-6
∴函数y=f（x）的零点即x²+2x-6=0的根$x=-1±\sqrt{7}$
（2）若$c=\frac{{b}^{2}}{4}$时，函数f（x）没有不动点，即方程x²+bx+$\frac{{b}^{2}}{4}$=0无根
∴△＜0
∴b＞$\frac{1}{3}$ 或 b＜-1．
（3）对任意的b∈R，函数y=f（x）都有两个相异的不动点
即：对于任意的b∈R，方程 x²+（b-1）x+c=0 有两个不同的根
∴；△△＞0⇒$\frac{（b-1）^{2}}{4}＞\\;c$ c 恒成立
∴$\$$\frac{（b-1）^{2}}{4}$的最小值为0，
∴c＜0
所以，c的取值范围为（-∞，0）．

点评 本题主要考察了一元二次函数零点与判别式关系，以及对新定义的理解，属创新类型题．