Question

某品牌汽车的4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数	35	25	a	10	b

已知分3期付款的频率为0.15，并且4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率．
（Ⅰ）求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（Ⅱ）用X表示销售一辆该品牌汽车的利润，求X的分布列及数学期望E（x）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由

a

100

=0.15，得a=15，b=15，由此能求出“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率．
（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，X的可能取值为1，1.5，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由

a

100

=0.15，得a=15，
因为35+25+a+10+b=100，所以b=15，
“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率：P(A)=0.93+

C

1 3

×0.1×(1-0.1)2=0.972．…（4分）
（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，
依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，
P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（6分）
因为X的可能取值为1，1.5，2，
并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，
P（X=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4，
P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．…（10分）
所以X的分布列为

X	1	1.5	2
P	0.35	0.4	0.25

所以X的数学期望为E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（万元）．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．