Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求CD与平面ACE所成角的正弦值；
（3）求V_D-ACE．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（1）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，说明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，说明∠DCH是直线与平面所成的角，解三角形DCG，求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
（3）根据三棱锥的体积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，
则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=

4 5

5

．
因为O是AD的中点，所以OF=

2 5

5

．
而EO=1，由勾股定理可得EO=

3 5

5

．
则cos∠EFO=

OF

EF

=

2 5 5

3 5 5

=

2

3

（2）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，
又∵CD⊥AE，∴AE⊥平面CDG，
过D作DH垂直CG于H，则AE⊥DH，
∴DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，
∴CD在平面ACE内的射影是CH，∠DCH是直线与平面所成的角．
∵DG=AD•sin∠DAG=AD•sin∠OAE=AD．

OE

AE

=4×

1

5

=

4 5

5

，CD=2
∴CG=

16×5 25 +4

=

6 5

5

．
∴sin∠DCG=

DG

CG

=

4 5 5

6 5 5

=

2

3

．
（3）V_D-ACE=

1

3

×OE•S△ACD=

1

3

×

3 5

5

×

1

2

×2×4=

4 5

5

．

点评：本题考查棱锥的体积的计算，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，考查学生的运算和推理能力．