Question

已知数列{x_n}的各项为不等于1的正数，其前n项和为S_n，点P_n的坐标为（x_n，S_n），若所有这样的点P_n（n=1，2，…）都在斜率为k的同一直线（常数k≠0，1）上．
（Ⅰ）求证：数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）设y_n=logxn2a2-3a+1满足y_s=

1

2t+1

，y_t=

1

2s+1

（s，t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1＜a＜

3

2

，试判断，是否存在自然数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得（k-1）x_n+1=kx_n，由此能证明{x_n}是公比为

k

k-1

的等比数列．
（Ⅱ）存在自然数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立，由1＜a＜

3

2

，得0＜2a²-3a+1＜1，设公比为q＞0首项为x₁，则x_n=x₁•q^n-1，得{

1

yn

}是以d为公差的等差数列．从而推导出当n＞M=（t+s）时，xn=(2a2-3a+1)

1

yn

＞1恒成立．

解答： （Ⅰ）证明：∵点p_n，p_n+1都在斜率为k的直线上，
∴

Sn+1-Sn

xn+1-xn

=k，即

xn+1

xn+1-xn

=k，…（1分）
故（k-1）x_n+1=kx_n
∵k≠0，x_n+1≠1，x_n≠1，…（3分）
∴

xn+1

xn

=

k

k-1

=常数，∴{x_n}是公比为

k

k-1

的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：答案是肯定的，即存在自然数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立．…（5分）
事实上，由1＜a＜

3

2

，得0＜2a²-3a+1＜1 …（6分）
∵y_n=log xn（2a²-3a+1），
∴

1

yn

=log (2a2-3a+1)x_n …（8分）
由（1）得{x_n}是等比数列，设公比为q＞0首项为x₁，则x_n=x₁•q^n-1（n∈N）
∴

1

yn

=（n-1）log (2a2-3a+1)q+log (2a2-3a+1)x₁
令d=log (2a2-3a+1)q，故得{

1

yn

}是以d为公差的等差数列．
又∵

1

ys

=2t+1，

1

yt

=2s+1，
∴

1

ys

-

1

yt

=2（t-s）
即（s-1）d-（t-1）d=2（t-s），
∴d=-2…（10分）
故

1

yn

=

1

ys

+（n-s）（-2）=2（t+s）-2n+1（n∈N）
又∵x_n=（2a²-3a+1）

1

yn

，（n∈N）
∴要使x_n＞1恒成立，即须

1

yn

＜0…（12分）
∴2（t+s）-2n+1＜0，∴n＞（t+s）+

1

2

，
当M=t+s，n＞M时，我们有

1

yn

＜0恒成立，
∵0＜2a²-3a+1＜1，
∴当n＞M=（t+s）时，xn=(2a2-3a+1)

1

yn

＞1恒成立．…（14分）

点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查满足条件的自然数是否存在的判断与求法，解题时要注意构造法的合理运用．