Question

已知椭圆C：

x2

a

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为

2

2

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x²+y²=r²（1＜r＜

2

）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，联立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能推导出当R=

2

时，|AB|取得最大值1．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，
离心率为

2

2

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，
∴

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，
即kx-y+m=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线l与圆M相切，∴

|m|

k2+1

=R，即m²=R²（k²+1），①
联立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由直线l与椭圆G相切，得△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
即m²=2k²+1，②
由①②得k²=

R2-1

2-R2

，m²=

3R2

2-R2

，
设点B（x₀，y₀），则x02=

4m2-4

1+4k2

=

16R2-16

3R2

，
y02=1-

x02

4

=

4-R2

3R2

∴|OB|²=x02+y02=

15R2-12

3R2

=5-

4

R2

，
∴|AB|²=|OB|²-|OA|²=5-

4

R2

-R2
=5-（R²+

4

R2

）≤5-2

R2• 4 R2

=1，
当且仅当R2=

4

R2

，即R=

2

时取“=”号，
∴当R=

2

时，|AB|取得最大值1．

点评：本题考椭圆C的方程的法语法，考查|AB|的最大值的求法，是中档值．