Question

已知数列{a_n}的前n项和{S_n}，满足S_n+1=ks_n+2，又a₁=2，a₂=1
（1）求k的值；  
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1结合已知求得k=

1

2

；
（2）由Sn+1=

1

2

Sn+2可得当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，两式相减即可得到数列{a_n}是以

1

2

为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（3）把数列{a_n}的通项a_n代入na_n，然后利用错位相减法求得数列{na_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S₂=kS₁+2，
∴a₁+a₂=ka₁+2，
∵a₁=2，a₂=1，∴3=2k+2，即k=

1

2

；
（2）由（1）得Sn+1=

1

2

Sn+2，
当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，
两式相减可得，an+1=

1

2

an．
∴数列{a_n}是以

1

2

为公比的等比数列．
∴an=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

；
（3）na_n=

n

2n-2

，
则Tn=

1

2-1

+

2

20

+

3

21

+…+

n

2n-2

．

1

2

Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

．
两式作差得：

1

2

Tn=2+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

．
∴Tn=8-

4n+8

2n

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系得确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．