Question

19．设数列{a_n}满足a₂+a₄=10，点P_n（n，a_n）对任意的n∈N^*，都有向量$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}=（{1，2}）$，则数列{a_n}的前n项和S_n=n²．

Answer 1

分析 运用向量的坐标运算和等差数列的定义得{a_n}等差数列，公差d=2，将a₂=a₁+2，代入a₂+a₄=10，中，得a₁=1，由此能求出{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：∵P_n（n，a_n），∴P_n+1（n+1，a_n+1），
$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（1，a_n+1-a_n）=（1，2），
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}等差数列，公差d=2，
将a₂=a₁+2，a₄=a₁+6代入a₂+a₄=10中，
解得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²．
故答案为：n²．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，同时考查向量的坐标运算，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．