Question

17．已知函数f（x）=2cos²2x-2，给出下列命题：
①函数f（x）的值域为[-2，0]；
②x=$\frac{π}{8}$为函数f（x）的一条对称轴；
③?β∈R，f（x+β）为奇函数；
④?α∈（0，$\frac{3π}{4}$），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，
其中的真命题有（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 化简函数f（x），求出函数f（x）的值域，判断①正确；
计算f（$\frac{π}{8}$）不是函数的最值，判断x=$\frac{π}{8}$不是函数的对称轴，判断②错误；
画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断③错误；
根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，$\frac{3π}{4}$）的解判断④正确．

解答 解：由题意，f（x）=2cos²2x-2=cos4x-1；
对于①，cos4x∈[-1，1]，∴cos4x-1∈[-2，0]，
∴函数f（x）的值域为[-2，0]，①正确；
对于②，x=$\frac{π}{8}$时，f（$\frac{π}{8}$）=cos$\frac{π}{2}$-1=-1，
∴x=$\frac{π}{8}$不是函数f（x）的一条对称轴，∴②错误；
对于③，∵f（x）=cos4x-1的图象如图所示，；
函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，
它不会是奇函数的，故③错误；
对于④，f（x）=f（x+2α），∴cos4x-1=cos（4x+8α）-1，
∴8α=2kπ，∴α=$\frac{kπ}{4}$，k∈Z；
又α∈（0，$\frac{3π}{4}$），α=$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{2}$，④正确．
综上，真命题是①④．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的应用问题，是综合题．