Question

14．已知函数f₀（x）=$\frac{cx+d}{ax+b}$（a≠0，ac-bd≠0），设f_n（x）为f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用条件，分别代入直接求解；
（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N^*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．

解答 解：（1）f₁（x）=f₀′（x）=$\frac{bc-ad}{（ax+b）^{2}}$，
f₂（x）=f₁′（x）=[$\frac{bc-ad}{（ax+b）^{2}}$]′=$\frac{-2a（bc-ad）}{（ax+b）^{3}}$；
（2）猜想f_n（x）=$\frac{（-1）^{n-1}•{a}^{n-1}•（bc-ad）•n！}{（ax+b）^{n+1}}$，n∈N*，
证明：①当n=1时，由（1）知结论正确；
②假设当n=k，k∈N*时，结论正确，
即有f_k（x）=$\frac{（-1）^{k-1}•{a}^{k-1}（bc-ad）•k！}{（ax+b）^{k+1}}$
=（-1）^k-1a^k-1（bc-ad）•（k+1）![（ax+b）^-（k+1）]′=$\frac{（-1）^{k}•{a}^{k-1}•（bc-ad）•k!}{（ax+b）^{k+2}}$
所以当n=k+1时结论成立，
由①②得，对一切n∈N*结论正确．

点评 本题主要考查数学归纳法证明猜想，应注意证题的完整性．