Question

19．已知正数x，y满足$\frac{4x-y}{4x+3y}$=4xy，那么y的最大值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 正数x，y满足$\frac{4x-y}{4x+3y}$=4xy，化为：16yx²+（12y²-4）x+y=0，关于x的一元二次方程有正实数根，利用方程与判别式的关系、根与系数的关系即可得出．

解答 解：正数x，y满足$\frac{4x-y}{4x+3y}$=4xy，化为：16yx²+（12y²-4）x+y=0，
关于x的一元二次方程有正实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{12{y}^{2}-4}{16y}＞0}\\{△=（12{y}^{2}-4）^{2}-64{y}^{2}≥0}\end{array}\right.$，又y＞0，
解得$y≤\frac{1}{3}$．
那么y的最大值为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．