Question

10．为治疗某种流行疾病，医生让某患者服用一种抗生素，规定每天早上八时服一片，现知该药片每片含药量为128毫克，他的肾脏每天可从体内滤出这种药的50%，问：
（1）经过多少天，该患者所服的第一片药在他体内残留不超过1毫克？
（2）如果抵抗这种疾病要求体内的药物含量不低于25毫克，该患者自服药起的6天内都能抵抗这种疾病，那么该患者应至少连续服药多少天？

Answer 1

分析 （1）可设经过x天，第一片药在他体内残留为y毫克，然后建立x，y间的关系式，从而解不等式$128•（\frac{1}{2}）^{x}≤1$即可得出答案；
（2）可设连续服药x天，体内残留药y毫克，并得出x，y的关系式为$y=128-128•（\frac{1}{2}）^{x}$，解不等式$[128-128•（\frac{1}{2}）^{x}]•（\frac{1}{2}）^{6-x}≥25$即可得出答案．

解答 解：（1）设经过x天，第一片药在他体内残留为y毫克，则：$y=128•（\frac{1}{2}）^{x}$；
解$128•（\frac{1}{2}）^{x}≤1$得，x≥4；
∴经过4天，该患者所服的第一片药在他体内残留不超过1毫克；
（2）设连续服药x天，体内残留药y毫克，则：$y=128•（\frac{1}{2}）^{x}+128•（\frac{1}{2}）^{x-1}+…+128•（\frac{1}{2}）$=$128-128•（\frac{1}{2}）^{x}$；
解$[128-128•（\frac{1}{2}）^{x}]•（\frac{1}{2}）^{6-x}≥25$得，$128•（\frac{1}{2}）^{6-x}≥27$；
∴$（\frac{1}{2}）^{6-x}≥\frac{27}{128}$；
x=3时，不等式不成立，x=4时，不等式成立；
∴该患者应至少连续服药4天．

点评 考查建立函数关系式解决实际问题的方法，指数函数的单调性，等比数列的求和公式．