Question

8．若三棱锥P-ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 32π

Answer 1

分析 如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，
即∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tan∠APD=$\frac{AD}{AP}=\frac{1}{2}$，得AP
以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，即可求出半径．

解答 解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，
∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，
过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，
∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=$\frac{AD}{AP}=\frac{1}{2}$，
∵AD=$\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$PA=\sqrt{2}$．
∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径R=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}{2}=1$，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=4π；
故选：A．

点评 本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题．