Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2$\sqrt{3}$cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
（Ι）求函数f（x）的最小正周期；
（ΙΙ） 当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ι）利用辅助角公式及二倍角公式即可求得f（x），利用周期公式，即可求得f（x）的最小正周期；
（ΙΙ） 由x的取值范围，则$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，根据正弦的性质，即可求得函数f（x）的最大值与最小值．

解答 解：（I）∵f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x，
=sin2x+2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$，
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$，
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，…（5分）
∴f（x）的最小正周期正周期为π …（6分）
（II）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，则$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$…（8分）
∴当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{12}$时，f（x）有最大值$2+\sqrt{3}$；…（10分）
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$，即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）有最小值0．
函数f（x）的最大值$2+\sqrt{3}$，最小值0．…（12分）

点评 本题考查正弦函数的性质，考查二倍角公式及辅助角应用，考查计算能力，属于中档题．