Question

4．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A₁C₁与B₁D₁的交点，已知AA₁=AB=2，∠BAD=60°；
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）求点O到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，由此能证明平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）取AB中点E，以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点O到平面BC₁D的距离．

解答 （1）证明：∵底面ABCD为菱形，O为A₁C₁与B₁D₁的交点，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∵B₁D₁∩BB₁=B₁，∴A₁C₁⊥平面B₁BDD₁，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）解：取AB中点E，以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，0，0），O（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{DO}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，2$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
设平面BC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，3），
∴点O到平面BC₁D的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DO}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本考查面面垂直的判断，考查点到平面的距离的求法，训练了利用空间向量求点到面的距离，是中档题．