Question

14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，D为BC的中点，将△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C，点E，F分别是AB，AC的中点．
（1）求证：BC∥平面DEF；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使CP⊥DF？若存在，求出$\frac{AP}{PB}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点E，F分别是AB，AC的中点，推导出EF∥BC，由此能证明BC∥平面DEF．
（Ⅱ）以D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AB上是存在一点P，使CP⊥DF，并能求出$\frac{AP}{PB}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）因为点E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC．
又因为BC?平面DEF，EF?平面DEF，
所以BC∥平面DEF． …（5分）
解：（Ⅱ）假设存在点P满足条件．
以D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得D（0，0，0），$A（0，0，\sqrt{3}）$，B（1，0，0），C（0，1，0），$F（0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$，则$P（\frac{λ}{1+λ}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}）$，由CP⊥DF，得$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{DF}=0$，
即$（\frac{λ}{1+λ}，-1，\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}）•（0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=0-\frac{1}{2}+\frac{3}{2（1+λ）}=0$，
解得λ=2，故在线段AB上存在点P，使CP⊥DF且$\frac{AP}{PB}=2$．   …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是不存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．