Question

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

log2(x+1)，x∈[0，3) x2-10x+23，x∈[3，+∞)

，则关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为

 

．（用含a的式子表达）

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：当x≥0时，f（x）=

log2(x+1)，x∈[0，3) x2-10x+23，x∈[3，+∞)

，f（x）=

-log2(1-x)，x∈[-3，0] -x2-10x-23，x∈(-∞，-3]

（x＜0），画出图象求解．

解答： 解：∵在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

log2(x+1)，x∈[0，3) x2-10x+23，x∈[3，+∞)

，
∴f（x）=

-log2(1-x)，x∈[-3，0] -x2-10x-23，x∈(-∞，-3]

（x＜0），
画图象如下：

∵关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-10+（-log₂（1-x₃））+10=-a，
即1-x=2^a，
故x=1-2^a，
故答案为：1-2^a，

点评：本题考查了函数的图象的运用，属于难题，根据对称性求解．