Question

已知（a，b）是关于x的一元二次不等式mx²-2x+1＜0的解集，则2a+b的最小值为（　　）

• A、3+2

  2

• B、

  3+2 2

  2

• C、5+2

  2

• D、

  5+2 2

  2

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：根据题意，求出m的取值范围以及a、b的值，得出2a+b的表达式；
再构造函数，求出2a+b的最小值即可．

解答： 解：∵（a，b）是不等式mx²-2x+1＜0的解集，
∴a，b是方程mx²-2x+1=0的两个实数根，
∴

m＞0 △=4-4m＞0

；
解得0＜m＜1，
解方程得a=

1- 1-m

m

，b=

1+ 1-m

m

；
∴2a+b=

3- 1-m

m

=

3

m

-

( 1 m )2- 1 m

；
设

1

m

=t（t＞1），
∴f（t）=3t-

t2-t

；
∴f′（t）=3-

1

2

•

1

t2-t

•（2t-1）=3-

2t-1

2 t2-t

，
令f′（t）=0，
解得t=

4+3 2

8

，或t=

4-3 2

8

（不合题意，舍去）；
∴当t=

4+3 2

8

时，f（t）取得最小值

3+2 2

2

，
∴2a+b的最小值为

3+2 2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了导数的概念与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用的问题，考查了构造函数的思想方法，是综合性题目．