Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，F₂是其右焦点，F₁为左焦点也是抛物线y²=-4x的焦点，过F₁的直线L与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点，当直线L与x轴垂直时

|CD|

|AB|

=2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求

F1A

•

F2B

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线方程和题意求椭圆中c的值，根据椭圆与抛物线的通径比列出a，b关系式，求出a、b的值即可；
（2）设A、B的坐标和直线l方程，并对直线l的斜率进行分类讨论，直线l方程与椭圆方程联立消去y，由韦达定理得x₁x₂与x₁+x₂，代入

F2A

•

F2B

化简得到关于k的式子，利用分离常数法、函数的性质求出其范围，即可

F2A

•

F2B

的范围，进而求出最值．

解答： 解：（1）由抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），得椭圆的左焦点F₁为（-1，0），即c=1，
因为过F₁的直线l与x轴垂直，所以AB为椭圆通径，CD为抛物线通径，
则|AB|=

2b2

a

，|CD|=2p=4，所以

|CD|

|AB|

=

4

2b2 a

=2

2

，即b2=

2

2

a，
因为a²=b²+c²，得a=

2

，b=1，所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

得，（2k²+1）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
则△=（4k²）²-4（2k²+1）×2（k²-1）=8k²+8＞0，
x₁+x₂=-

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2(k2-1)

2k2+1

，
所以

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²
=（1+k²）×

2(k2-1)

2k2+1

+（k²-1）×（-

4k2

2k2+1

）+1+k²
=

7k2-1

2k2+1

=

7 2 (2k2+1)- 9 2

2k2+1

=

7

2

-

9

2(2k2+1)

，
因为k²≥0，所以-1≤

7

2

-

9

2(2k2+1)

＜

7

2

，
所以

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

），
②当直线l斜率不存在时，可得A（-1，

2

2

）B（-1，-

2

2

），此时

F2A

•

F2B

=

7

2

，
综上得，

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

]，
所以

F2A

•

F2B

的最大值和最小值分别为

7

2

、-1．

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，向量、直线与圆锥曲线的综合应用，以及对直线的斜率进行讨论，这是易忘的地方，考查利用韦达定理达到设而不求思想和计算化简能力．