Question

函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[

a

2

，

b

2

]⊆D，使得f（x）在[

a

2

，

b

2

]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=log_c（c^x-t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，

  1

  4

  ）
• D、（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．

解答： 解：若c＞1，则函数y=c^x-t为增函数，y=log_cx，为增函数，∴函数f（x）=log_c（c^x-t）为增函数，
若0＜c＜1，则函数y=c^x-t为减函数，y=log_cx，为减函数，∴函数f（x）=log_c（c^x-t）为增函数，
综上：函数f（x）=log_c（c^x-t）为增函数，
若函数f（x）=log_c（c^x-t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，
则

f( a 2 )=a f( b 2 )=b

，即

ca-c a 2 +t=0 cb-c b 2 +t=0

，
即c

a

2

，c

b

2

是方程x²-x+t=0上的两个不同的正根，
则

△=1-4t＞0 t＞0

，
解得0＜t＜

1

4

，
故选：D

点评：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．