Question

如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为边长为a的菱形，且∠DAB=60°，DF=2BE=2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD
（Ⅰ）在AF上是否存在点G，使得EG∥平面ABCD，请证明你的结论；
（Ⅱ）求该多面体的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）当点G是AF中点时，EG∥平面ABCD，证明四边形BEGH为平行四边形，可得EG∥BH，即可证明EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）连接BD，由V=V_A-BDFE+V _C-BDFE=2V_A-BDFE．

解答： 解：（Ⅰ）当点G是AF中点时，EG∥平面ABCD．
取AD中点H，连接GH，GE，BH，则
∵GH∥DF，GH=

1

2

DF，
∴GH∥BE且GH=BE，
∴四边形BEGH为平行四边形，
∴EG∥BH，
∵BH?平面ABCD，EG?平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）连接BD，由V=V_A-BDFE+V _C-BDFE=2V_A-BDFE=2•

1

3

•

1

2

（a+2a）•a•

3

2

a=

3

2

a³．

点评：本题考查线面平行的判定，考查多面体的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．