Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=1-

1

2

b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；  
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a₃=5，a₅=9，由此求出a_n=a₅+（n-5）d=2n-1；由S_n=1-

1

2

b_n，推导出{b_n}是等比数列，b1=

2

3

，q=

1

3

，由此求出b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₃=5，a₅=9，
∴d=

9-5

5-3

=2，∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1，
又当n=1时，b1=S1=1-

1

2

b1，解得b1=

2

3

，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，n≥2，
∴{b_n}是等比数列，b1=

2

3

，q=

1

3

，
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，
∴Tn=

2

3

+

6

32

+

10

33

+…+

4n-2

3n

，①

1

3

Tn=

2

32

+

6

33

+

10

34

+…+

4n-2

3n+1

，②
①-②，得

2

3

Tn=

2

3

+

4

32

+

4

33

+…+

4

3n

-

4n-2

3n+1

=

2

3

+4×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

4n-2

3n+1

=2-

4n+10

3n+1

，
∴T_n=3-

2n+5

3n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．