Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且对一切n∈N^*，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

，求T_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₂-a₁=6-2=4，（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，由此能证明数列{a_n+1-a_n}是首项为4，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，由此利用累加法能求出a_n=n（n+1）．
（3）由

1

(n+2)an

=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，利用裂项求和法求出Tn=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

＜

1

4

，由题意知T_n在n∈N^*时单调递增，Tn≥T1=

1

6

，由此能求出T_n的取值范围．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且对一切n∈N^*，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a₂-a₁=6-2=4，
（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为4，公差为2的等差数列．
（2）解：由（1）知a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
∴a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
累加，得：a_n=2+4+6+8+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）．
（3）解：∵

1

(n+2)an

=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴Tn=

1

3a1

+

1

4a2

+

1

5a3

+…+

1

(n+2)an

=

1

2

[

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

＜

1

4

，
由题意知T_n在n∈N^*时单调递增，∴Tn≥T1=

1

6

，
综上：

1

6

≤Tn＜

1

4

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的取值范围的确定，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．