Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+2x-lnx，其中a＜0．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=-

1

2

且关于x的方程f（x）=

1

2

x-b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立，对a讨论，则有a＜0，判别式不小于0，即可；
（Ⅱ）由题意设g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，求得导数，列表表示g（x）和g′（x）的关系，得到极小值和极大值，
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它们即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），求导得f′（x）=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

（x＞0），
依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
因为a＜0，所以二次函数开口向下，对称轴x=-

1

a

＞0，
问题转化为△=4+4a≤0，
所以a≤-1，所以a的取值范围是（-∞，-1]；    
（Ⅱ）由题意-

1

4

x²+2x-lnx=

1

2

x-b，即

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0，
设g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，则g′（x）=

(x-2)(x-1)

2x

列表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴g（x）_极大值=g（1）=-b-

5

4

，g（x）_极小值=g（2）=ln2-b-2，又g（4）=2ln2-b-2
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，得 ln2-2＜b≤-

5

4

 （注意-

5

4

＜-1＜2ln2-2））．

点评：本题考查导数的运用：求单调性，求极值，考查函数方程的数学转换，考查运算能力，属于中档题．