Question

20．已知函数f（x）=log₂（$\frac{1+mx}{2x-1}$）-x（m为常数）是奇函数．
（1）判断函数f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若对于区间[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出m的值，求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义证明即可；
（2）设g（x）=f（x）-2^x，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出n的范围即可．

解答 解：（1）由条件可得f（-x）+f（x）=0，即  ${log_2}（{\frac{1-mx}{-2x-1}}）+{log_2}（{\frac{1+mx}{2x-1}}）=0$，
化简得1-m²x²=1-4x²，从而得m=±2；由题意m=-2舍去，
所以m=2，即$f（x）={log_2}（{\frac{1+2x}{2x-1}}）-x$，$f（x）在x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$上为单调减函数；
证明如下：设$\frac{1}{2}＜{x_1}＜{x_2}＜+∞$，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（$\frac{1+{2x}_{1}}{{2x}_{1}-1}$）-x₁-log₂（$\frac{1+{2x}_{2}}{{2x}_{2}-1}$）+x₂，
因为$\frac{1}{2}$＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0；
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以函数f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上为单调减函数；
（2）设g（x）=f（x）-2^x，由（1）得f（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上为单调减函数，
所以g（x）=f（x）-2^x在[2，5]上单调递减；
所以g（x）=f（x）-2^x在[2，5]上的最大值为$g（2）={log_2}^{\frac{5}{3}}-6$，
由题意知n≥g（x）在[2，5]上的最大值，所以$n≥{log_2}^{\frac{5}{3}}-6$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．