Question

15．若区间[x₁，x₂]的 长 度 定 义 为|x₂-x₁|，函数f（x）=$\frac{（{m}^{2}+m）x-1}{{m}^{2}x}$（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 化简f（x），首先考虑f（x）的单调性，由题意：$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，故a，b是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出a，b的关系，再求最大值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{（{m}^{2}+m）x-1}{{m}^{2}x}$（m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
 f（x）=$\frac{（{m}^{2}+m）x-1}{{m}^{2}x}$=$\frac{m+1}{m}$-$\frac{1}{{m}^{2}x}$在区间[a，b]上时增函数，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
故a，b是方程f（x）=$\frac{m+1}{m}$-$\frac{1}{{m}^{2}x}$=x的同号相异的实数根，
即a，b是方程（mx）²-（m²+m）x+1=0同号相异的实数根．
那么ab=$\frac{1}{{m}^{2}}$，a+b=$\frac{m+1}{m}$，只需要△＞0，
即（m²+m）²-4m²＞0，解得：m＞1或m＜-3．
那么：n-m=$\sqrt{{（a+b）}^{2}-4ab}$=$\sqrt{-{3（\frac{1}{m}-\frac{1}{3}）}^{2}+\frac{4}{3}}$，
故b-a的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数性质的方程的运用，有一点综合性，利用函数关系，构造新的函数解题．属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．