Question

12．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若不等式f（x）＞log₉（2c-1）有解，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，即可得出结论；
（2）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），不等式f（x）＞log₉（2c-1）有解，可得$\frac{1}{2}$＞log₉（2c-1），即可求c的取值范围．

解答 解：（1）函数的定义域为R，
f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{1}{2}•\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
∵不等式f（x）＞log₉（2c-1）有解，
∴$\frac{1}{2}$＞log₉（2c-1），
∴0＜2c-1＜3，
∴$\frac{1}{2}＜c＜2$．

点评 本题考查奇函数的定义，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．