Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-E的余弦值；
（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需证明 PA⊥CD，CD⊥AD．得到CD⊥平面PAD．即可证得平面PAD⊥平面PCD
（Ⅱ）作Ez⊥AD，以E为原点，以$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}$的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，则点E（0，0，0），P（0，-2，2），A（0，-2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．
所以$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2，）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，2，0）$，$\overrightarrow{EP}=（0，-2，2）$．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C-PB-E的余弦值
（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“$\overrightarrow{DM}•n=0$”．设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PE}=（0，2λ，-2λ）$，λ∈（0，1），求出λ即可

解答 解：（Ⅰ）证明：由已知平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD．所以PA⊥CD．
又因为BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面PAD．
因为CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ）作Ez⊥AD，以E为原点，以$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}$的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，
则点E（0，0，0），P（0，-2，2），A（0，-2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．
所以$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2，）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，2，0）$，$\overrightarrow{EP}=（0，-2，2）$．
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{PB}=0}\\{n•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{-x+2y=0}\end{array}}\right.$
令y=1，解得$\overrightarrow{n}$=（2，1，3）．
设平面PBE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
所以$\left\{{\begin{array}{l}{m•\overrightarrow{PB}=0}\\{m•\overrightarrow{EP}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{a+b-c=0}\\{-b+c=0}\end{array}}\right.$
令b=1，解得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）．
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2×0+1×1+3×1}{\sqrt{14}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
由图可知，二面角C-PB-E的余弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（10分）
（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“$\overrightarrow{DM}•n=0$”．
因为$\overrightarrow{PE}=（0，2，-2）$，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PE}=（0，2λ，-2λ）$，λ∈（0，1），
则M（0，2λ-2，2-2λ），$\overrightarrow{DM}=（0，2λ-4，2-2λ）$．
由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，1，3），
所以$\overrightarrow{DM}•n=2λ-4+6-6λ=0$．
解得$λ=\frac{1}{2}$．
所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．…（14分）

点评 本题考查了面面垂直的判定，向量法求二面角、动点问题，属于中档题．