Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率e=

5 -1

2

，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个端点，则∠ABF=（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、90°
• D、120°

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆的离心率得到a，c的关系，结合椭圆中的直角三角形，由勾股定理可得∠ABF=90°，则答案可求．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率e=

5 -1

2

，
∴

c

a

=

5 -1

2

，

c2

a2

=

3- 5

2

，
在三角形AOB中有|AB|²=a²+b²=2a²-c²=2a2-

3- 5

2

a2=

5 +1

2

a2，
在三角形BOF中有|BF|²=b²+c²=a²，
又|FA|=a+c，
∴|FA|²=a²+c²+2ac=a2+

3- 5

2

a2+2a•

5 -1

2

a=

3+ 5

2

a2．
∴|AF|²=|FB|²+|AB|²，
∴∠FBA等于90°．
故选：C．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的离心率，关键是注意椭圆中直角三角形边的关系的应用，是中档题．