Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且该椭圆上一点A与左、右焦点F₁，F₂构成的三角形周长为2

2

+2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）记椭圆C的上顶点为B，直线l交椭圆C于P，Q两点，问：是否存在直线l，使椭圆C的右焦点F₂恰为△PQB的垂心（△PQB三条边上的高线的交点）？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若⊙M是以AF₂为直径的圆，求证：⊙M与以坐标原点为圆心，a为半径的圆相内切．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，可得

c

a

=

2

2

．该椭圆上一点A与左、右焦点F₁，F₂构成的三角形周长为2

2

+2，可得|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2

2

+2．及b=

a2-c2

联立解得即可．
（II）假设存在直线l，使椭圆C的右焦点F₂恰为△PQB的垂心．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．则BF₂⊥PQ．
由kBF2=-1，可得k_PQ=1．设直线l的方程为：y=x+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用

BP

⊥

QF2

，可得

BP

•

QF2

=x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，解得m即可．
（III）证明设A（x₀，y₀），F₂（1，0），则M(

x0+1

2

，

y0

2

)，设两圆的半径分别为r₁，r₂．|OM|=

( x0+1 2 )2+( y0 2 )2

=

2

2

+

2

4

x0．又⊙M的半径r₁=|MF₂|=

2

2

-

2

4

x0．r₂=a=

2

．只要证明|OM|=r₂-r₁．即可．

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，
该椭圆上一点A与左、右焦点F₁，F₂构成的三角形周长为2

2

+2，
∴|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2

2

+2．
解得a=

2

，c=1，∴b=

a2-c2

=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）假设存在直线l，使椭圆C的右焦点F₂恰为△PQB的垂心．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．则BF₂⊥PQ．
∵B（0，1），F₂（1，0），∴kBF2=-1，∴k_PQ=1．
设直线l的方程为：y=x+m，联立

y=x+m x2+2y2=2

，
化为3x²+4mx+2m²-2=0，则x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

．（*）．
∵

BP

⊥

QF2

，
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，化为2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0，
∴

4m2-4

3

-

4m(m-1)

3

+m²-m=0，化为3m²+m-4=0，解得m=-

4

3

，m=1．
经检验m=-

4

3

符合条件，直线l的方程为y=x-

4

3

．
（III）证明：设A（x₀，y₀），F₂（1，0），则M(

x0+1

2

，

y0

2

)，
设两圆的半径分别为r₁，r₂．
|OM|=

( x0+1 2 )2+( y0 2 )2

=

(x0+1)2 4 + 1 4 (1- x2 2 )2

=

2

2

+

2

4

x0．
又⊙M的半径r₁=|MF₂|=

2

2

-

2

4

x0．r₂=a=

2

．
∴r₂-r₁=

2

-(

2

2

-

2

4

x0)=

2

2

+

2

4

x0．
∴|OM|=r₂-r₁．
∴⊙M与以坐标原点为圆心，a为半径的圆相内切．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、两点之间的距离公式、两圆相内切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．