Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=AA₁=1，则D₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  4

• C、2

  2

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：可以考虑用向量解决本题，所以分别以DA，DC，DD₁三直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据线面角的概念知D₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值等于

D1C1

与平面A₁BC₁的法向量夹角的余弦值的绝对值，所以根据已知的边的长度求出

D1C1

，

A1C1

，

A1B

的坐标，设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，根据向量

n

与

A1C1

，

A1B

垂直即可求出

n

，根据向量夹角余弦公式即可求出向量

D1C1

，

n

夹角的余弦值的绝对值．

解答： 解：如图，分别以DA，DC，DD₁三条边所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；
根据题意知，D₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值等于向量

D1C1

和平面A₁BC₁的法向量夹角余弦值的绝对值；
根据已知的边的长度，可求以下几点坐标：
D₁（0，0，1），C₁（0，2，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0）；
∴

D1C1

=(0，2，0)，

A1C1

=(-1，2，0)，

A1B

=(0，2，-1)；
设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • A1C1 =0 n • A1B =0

；
∴

-x+2y=0 2y-z=0

，取y=1，∴

n

=(2，1，2)；
∴|cos＜

D1C1

，

n

＞|=|

D1C1 • n

| D1C1 || n |

|=|

2

2×3

|=

1

3

．
故选A．

点评：考查运用空间向量解决线面角的问题，以及向量数量积的坐标公式，两向量夹角的余弦公式．