Question

10．三棱锥S-ABC中，∠ASB=∠ASC=90°，∠BSC=60°，SA=SB=SC=2，点G是△ABC的重心，则|$\overrightarrow{SG}$|等于（　　）

• A． 4
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC．由题意，AS⊥平面SBC，SA=2，SD=$\sqrt{3}$，AG=2GD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，cos∠SAD=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．利用余弦定理可得|$\overrightarrow{SG}$|．

解答 解：如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC．
由题意，AS⊥平面SBC，SA=2，SD=$\sqrt{3}$，AG=2GD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，cos∠SAD=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．
由余弦定理可得|$\overrightarrow{SG}$|=$\sqrt{4+\frac{28}{9}-2×2×\frac{2\sqrt{7}}{3}×\frac{2}{\sqrt{7}}}$=$\frac{4}{3}$，
故选D．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查线面垂直，考查余弦定理的运用，属于中档题．