Question

11．已知定义：在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称数列{a_n}为等方差数列，下列判断：
①{（-1）ⁿ}是“等方差数列”；
②若{a_n}是“等方差数列”，则数列{${a}_{n}^{2}$}是等差数列；
③若{a_n}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列；
④若{a_n}是“等方差数列”，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）可能也是“等方差数列”．
其中正确的结论是①②③④．（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析 利用“等方差数列”与“等差数列”的定义及其性质即可逐一判断出结论．

解答 解对于①，∵a_n=（-1）ⁿ，∴a_n²-a_n-1²=0，∴数列{a_n}为等方差数列，正确；
对于②，{a_n}是“等方差数列”，∴a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p为常数），则数列{a_n²}是等差数列，正确；
对于③，若{a_n}既是“等方差数列”，又是等差数列，设公差为d，
∴n≥2时，a_n²-a_n-1²=[a₁+（n-1）d]²-[a₁+（n-2）d]²=d[2a₁+（2n-3）d]为常数，必然d=0，
则该数列是常数列，正确；
对于④，取a_n=2，{a_n}是“等方差数列”，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）可能还是“等方差数列”，正确；
故答案为：①②③④

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、新定义、“等方差数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．