Question

10．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，则$z=\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． $[\frac{1}{2}，2]$
• C． $[\frac{5}{4}，2]$
• D． $[0，\frac{4}{3}]$

Answer 1

分析 由题意作平面区域，联立方程解出各点的坐标；利用$z=\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是点（x，y）与点（-2，-1）的直线的斜率，从而求得．

解答 解：由题意作平面区域如右图，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=2x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=9}\end{array}\right.$，
故点B（7，9）；
同理可得，A（3，1），D（1，3）；
则$z=\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是点（x，y）与点（-2，-1）的直线的斜率，
而k_AC=$\frac{1+1}{3+1}$=$\frac{1}{2}$，k_CD=$\frac{3+1}{1+1}$=2；
故$\frac{1}{2}$≤z≤2，
则$z=\frac{y+1}{x+1}$的取值范围为[$\frac{1}{2}$，2]．
故选：B．

点评 本题考查了线性规划问题，同时考查了数形结合的思想方法应用及转化思想的应用．