Question

12．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，E为CB的中点，AB=PA=AD=2CD，则PA与平面PDE所成的角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{22}}{22}$
• B． $\frac{\sqrt{22}}{11}$
• C． $\frac{3\sqrt{22}}{22}$
• D． $\frac{2\sqrt{22}}{11}$

Answer 1

分析 以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PDE所成的角的正弦值．

解答 解：以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），D（2，0，0），B（2，1，0），E（1，$\frac{3}{2}$，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（-1，$\frac{3}{2}$，0），
设平面PDE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2a+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-a+\frac{3}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，2，3），
设PA与平面PDE所成的角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{2×\sqrt{22}}$=$\frac{3\sqrt{22}}{22}$
∴PA与平面PDE所成的角的正弦值为$\frac{3\sqrt{22}}{22}$．
故选：C．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．