Question

3．为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在175个以上（包括175）定义为“高产”，挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少？
（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法，选中的“高产”有2棵，“非高产”有3棵，由此能求出至少有一棵是“高产”的概率．
（2）依题意，从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是$\frac{2}{5}$，ξ服从二项分布$B（3，\frac{2}{5}）$，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，
用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是$\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$…（2分）
所以选中的“高产”有$12×\frac{1}{6}=2$棵，“非高产”有$18×\frac{1}{6}=3$棵，
用事件A表示至少有一棵“高产”被选中，
则$P（A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$，
因此至少有一棵是“高产”的概率是$\frac{7}{10}$．…（4分）
（2）依题意，抽取30棵中12棵是“高产”，
所以抽取一棵是“高产”的频率为$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$…（5分）
频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是$\frac{2}{5}$，
又因为所取总体数量较多，抽取3棵可看成进行3次独立重复试验，
所以ξ服从二项分布$B（3，\frac{2}{5}）$…（6分）
ξ的取值为0，1，2，3，
$P（ξ=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{2}{5}•（1-\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}=\frac{8}{125}$…（9分）
所以ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（11分）
所以$Eξ=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（12分）

点评 本题考查茎叶图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．